כמה עובדות על המספרים ההגדה שאין סיכוי שידעתם

1. חוק בנפורד - או איך לזייף בלי להיתפס
   אם תסתכלו על רשימות נתונים מהעולם האמיתי (חשבונות חשמל, אוכלוסיית ערים), הספרה 1 תופיע כספרה הראשונה במספר בערך 30% מהזמן, יותר מכל ספרה אחרת. לכן בעזרת חוק בנפורד התגלו לא מעט מקרי זיוף והונאה. חוק בנפורד הוא לא הוכחה, אלא כלי לסינון ראשוני. הוא לא יעיל אם יש רק קבוצת נתונים קטנה, או מספרים עם מגבלה מובנית (כמו אלה שמסתיימים ב99 בחנויות), או מספרים סידוריים ועוקבים שלא אמורים לציית לחוק. למשל יש את המקרה של מדינת אריזונה נגד ויין ג'יימס נלסון ב-1993: נלסון, עובד מדינה, הואשם בהונאה של כ-2 מיליון דולר. רואה החשבון מארק ניגריני, המומחה המוביל בעולם בנושא, ניתח את הצ'קים שנלסון הנפיק לעצמו וגילה שהתפלגות הספרות הראשונה שלהם היתה רחוקה מאוד מחוק בנפורד – כמעט כולם התחילו ב-7, 8 ו-9, בניגוד לטבע. גם בהונאת אנרון, לאחר קריסת ענקית האנרגיה ב-2001, חוקרים מצאו שהמספרים בדוחות רווח והפסד סטו באופן משמעותי מחוק בנפורד, מה שהצביע על כך שהמספרים היו "מבושלים". גם ביוון, בדוחות התמ"ג שהגישה לאיחוד האירופי לפני הצטרפותה לגוש האירו, היו סטיות חריגות מחוק בנפורד, כלומר, היא ייפתה את הנתונים שלה כדי לעמוד בתנאי הסף.
2. המספר שנהרגו בגללו
   הסיפור של שורש 2 הוא רגע חשוב המתמטיקה. ביוון העתיקה פעלה כת פיתגוראית שהאמינה שהכל בנוי ממספרים רציונליים – מספרים שלמים או חלוקה של שני שלמים (2/3,4/1223). יום אחד, אחד מתלמידיהם בדק ריבוע פשוט שאורך צלעו 1, וגילה שאורך האלכסון שלו הוא שורש של 2. כשהוא ניסה לכתוב את המספר הזה כחילוק של שני שלמים (שבר פשוט) הוא גילה שזה בלתי אפשרי. אין שני מספרים שלמים שיכולים לתאר אותו בדיוק. הסתרר שיש בעולם דברים שאפשר למדוד, אבל אי אפשר לבטא במספרים רגילים. לפי האגדה, חברי הכת ניסו להשתיק אותו, ואפילו השליכו את המגלה לים.
3. מבחן החלוקה
   הטריק הכי שימושי בבית הספר: מספר מתחלק ב-3 אם ורק אם סכום הספרות שלו מתחלק ב-3. למשל, 123 מתחלק ב-3 כי 1+2+3=6, ו-6 מתחלק ב-3.
4. משפט ארבעת הצבעים
   ידעתם שמספיקים רק ארבעה צבעים כדי לצבוע כל מפה בעולם, כך ששתי מדינות שכנות לא יהיו באותו צבע?
5. סדרת פיבונאצ'י בטבע
   המספר 5 הוא כוכב בסדרת פיבונאצ'י שבה כל מספר הוא סכום שני המספרים שלפניו (1, 1, 2, 3, 5, 8...). הסדרה הזו מופיעה בטבע בכל מקום: בסידור העלים על ענף, במבנה האצטרובל ואפילו במספר עלי הכותרת של פרחים ועוד.
6. המספר המושלם
   6 הוא "מספר מושלם". למה? כי אם נחבר את כל המחלקים שלו (חוץ ממנו), נקבל בדיוק אותו: 1+2+3=6.
7. הגשרים של קניגסברג
   המספר 7 מככב בחידה שהולידה את תורת הגרפים: האם אפשר לטייל בעיר ולעבור על כל אחד מ-7 הגשרים שלה בדיוק פעם אחת? התשובה: לא.
8. פיבונאצ'י וחזקת 3
   בסדרת פיבונאצ'י המפורסמת, שבה כל מספר הוא סכום שני המספרים שלפניו (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...), המספר 8 הוא מקרה נדיר ומיוחד: הוא המספר ה"קובייתי" היחיד בסדרה (חוץ מהמספר 1). כלומר, הוא המספר היחיד בסדרה שאפשר להציג אותו בתור 2 בחזקת 3. לקח למתמטיקאים שנים להוכיח שאין עוד מספר כזה בסדרה האינסופית הזו.
9. קסם התשיעיות (שיטת האצבעות)
   איך כופלים ב-9 בלי מחשבון? פרסו את 10 האצבעות. כדי לחשב 9 × 4, קפלו את האצבע הרביעית משמאל. מה נשאר? 3 אצבעות משמאל (עשרות) ו-6 מימין (יחידות). התוצאה: 36.
10. גוגול
    המספר 10 בחזקת 100 (1 עם מאה אפסים אחריו) נקרא "גוגול". הוא יותר גדול ממספר האטומים ביקום הנראה (10 בחזקת 80) וזו הסיבה שמנוע החיפוש "גוגל" קרוי על שמו, כי הם רצו לסדר את כל המידע האינסופי שבעולם.
11. כל מספר דו ספרתי כפול 11
    52x11 - לוקחים 5 למאות ו-2 ליחידות ובאמצע סכום (2+5=7) ומקבלים 572. 36x11 - לוקחים 3 למאות, 6 ליחידות - ובאמצע סכום (3+6=9) ומקבלים 396. שימו לב שבמספר כמו 75 - אם ננסה להכפיל ב-11 בשיטה שלנו נראה שבאמצע צריך לשים 12 ונקבל 7,125. זאת כמובן תשובה גדולה מדי ועלינו לבצע המרה (לחבר את 7 ו-1) ונקבל 825.
12. כדורים במרחב
    ב-4 במאי 1694, המתמטיקאי והאסטרונום דיוויד גרגורי הגיע לבקר את אייזק ניוטון בקיימברידג'. הם עברו על הערות של ניוטון לגבי תנועת הכוכבים, אבל מהר מאוד השיחה גלשה לגיאומטריה טהורה ולשאלה שנראית כמעט כמו משחק ילדים: כמה כדורים זהים אפשר להצמיד לכדור מרכזי אחד מאותו גודל? במתמטיקה קוראים למגע כזה "נשיקה", ומכאן השם "מספר הנשיקה (Kissing Number).
    אייזק ניוטון טען בביטחון – 12: הוא ראה בדמיונו סידור שבו כל כדור נוגע בכדור המרכזי, והרגיש שאין מקום ליותר מזה. דיוויד גרגורי חלק עליו וטען - : 13 הוא שם לב שאם מצמידים 12 כדורים, נשארים ביניהם רווחים די גדולים. הוא הציע שאם נזיז את הכדורים בצורה חכמה ונצופף אותם, נצליח להשחיל כדור מספר 13 פנימה. הבעיה הזו היתה כל כך קשה להוכחה כי במרחב תלת-ממדי יש המון "חופש". בדו-ממד (על שולחן סנוקר), קל להוכיח שאפשר להקיף כדור אחד ב-6 כדורים בדיוק. אבל בתלת-ממד, הרווחים בין 12 הכדורים הם מתעתעים. רק בשנת 1953 (יותר מ-250 שנה אחרי) הצליחו מתמטיקאים (קארל לודוויג שיטה וקורט ואן דר וארדן) להוכיח שניוטון צדק: המקסימום הוא 12. הרווחים שגרגורי ראה אכן קיימים, אבל הם פשוט לא גדולים מספיק כדי להכניס כדור נוסף, לא משנה כמה תנסו לצופף אותם.
13. הראשוני ההפוך
    13 הוא מספר ראשוני. אם הופכים את סדר הספרות שלו, מקבלים 31 – שגם הוא מספר ראשוני.

הכותב הוא מנכ"ל ומייסד Vedicly, ספקית גפ"ן של משרד החינוך בתת סל STEM, המפתחת מיומנויות חשיבה אנליטית וביקורתית באמצעות הוראת מתמטיקה חווייתית.