ברגנר נולד ב-1920 בווינה שבאוסטריה, היגר בצעירותו למלבורן ושירת בצבא האוסטרלי במהלך מלחמת העולם השנייה (לצד הסופר יוסל בירשטיין). בהמשך עבר לפריז, וב-1948 עלה לישראל עם אשתו, האמנית אודרי ברגנר. הם התגוררו בצפת לפני שעברו לתל אביב, שם חי האמן עד היום.
המשורר והמבקר אורי הולנדר כתב היום בעמוד הפייסבוק שלו כי ברגנר היה "אדם יוצא דופן, צייר מופלא ומייצגה של רוח יהודית-אוניברסלית, שככל הנראה עברה מן העולם. הוא היה אמן של 'כאן' ואמן של 'שם' - 'צייר אתמולי' נצחי - וביטא בכל מסמר משהו שרק הוא ידע לתת לו שם. שלוש דלתות הבית ברחוב ביל"ו, שמוליכות מן העולם אל עולמו של ברגנר, מגוננות כעת על סטודיו ריק, שאצר את רוחו וסיפוריו וצחוקו ושירתו, והוא כל כך מלא".
מלבד פרס ישראל בו זכה ב-1980, ברגנר זכה בפרסים נוספים רבים, בהם פרס הרמן שטרוק. הוא עבד גם כמאייר, צייר תפאורות ומעצב תלבושות.
ברגנר הותיר אחריו אישה ובת. הלווייתו תתקיים מחר ב-14:00 בבית העלמין בקיבוץ עינת.